Équation de l’hydrostatique | Exercice 1

Enoncé :

Soit le manomètre en U ci-dessous. Contenant d’un côté de l’huile de masse volumique ρ_h et de hauteur h_h. De l’autre côté il contient de l’eau de masse volumique ρ_e et de hauteur h_e. Ces deux fluides sont séparés par du mercure de masse volumique ρ_m.

On observe sur le manomètre une dénivellation h entre les deux surfaces du mercure.

Les deux surfaces libres de l’huile et de l’eau sont à la pression atmosphérique P_atm.

Question 1: En utilisant l’équation de l’hydrostatique donnez l’expression littérale de la dénivellation h en fonction de ρ_e, ρ_h, ρ_m, h_e et h_h. Calculez sa valeur numérique.

Question 2: Donnez les expressions puis les valeurs des pressions P_B et P_C aux point B et C.

Données :

ρ_h = 850 Kg/m³, ρ_e = 1000 Kg/m³, ρ_m = 13500 Kg/m³, h_h = 2 cm, h_e = 4 cm et P_atm = 10⁵ Pa.

Solution :

Réponse 1:

Dans cette première question on cherche à déterminer la dénivellation h du mercure. Cette dernière va dépendre des quantités d’eau et d’huile, ou plus exactement de leurs hauteurs, qui se trouve d’un côté et de l’autre du mercure.

Pour pouvoir prendre ces hauteurs en considération, il faudra appliquer la relation de l’hydrostatique, qui s’appelle aussi équation fondamentale de la statique des fluides, entre les différentes interfaces de chaque fluide. A savoir, entre le point A et B pour l’eau, entre B et C pour le mercure et finalement entre le point C et D pour l’huile.

Il est très important de comprendre qu’on ne peut pas appliquer cette loi de l’hydrostatique entre deux points qui ne sont pas reliés via le même fluide. Par exemple on ne peut pas l’appliquer directement entre A et C ou entre B et D.

L’application de l’équation fondamentale de l’hydrostatique entre A et B donne:

$P_A - P_B = \rho_eg(z_B-z_A) (1)$

La relation de l’hydrostatique relie donc les pressions en deux points d’un fluide au repos à la différence des hauteurs de ces deux derniers.

En appliquant cette relation, il faudra faire attention à deux détails importants:

Pour la masse volumique, il s’agit de celle du fluide connectant les deux points;
Les pressions et les altitudes des points sont inversés: si on commence par A pour les pressions (P_A – P_B) il faudra commencer par B pour les z (z_B – z_A).

L’utilisation de la loi de l’hydrostatique sous cette forme nous permet de ne pas se soucier de la position relative des deux points. Du coup on peut l’appliquer aveuglement et elle sera toujours correcte.

Il est à noter aussi qu’on pouvait aussi écrire:

$P_B - P_A = \rho_eg(z_A-z_B)$

Pour la suite on va garder la première expression dans l’équation (1).

Si on fait la même chose entre le point B et C on retrouve:

$P_B - P_C = \rho_mg(z_C-z_B) (2)$

Et pour C et D on obtient:

$P_C - P_D = \rho_hg(z_D-z_C) (3)$

Si on prend maintenant les trois équations (1), (2) et (3) et on fait la somme des membres de gauche égale à la somme des membres de droite on obtient :

$P_A - P_B + P_B - P_C + P_C - P_D = \rho_eg(z_B-z_A) + \rho_mg(z_C-z_B)+\rho_hg(z_D-z_C)$

Le terme à gauche de cette dernière équation contient des termes opposés qui vont se simplifier. Ceci n’est pas dû au hasard. Pour obtenir cela, il faudra que la première pression de l’équation (2) soit identique à la deuxième pression dans l’équation (1). Et respecter la même règle pour l’équation (2) et (3).

Après simplification on obtient:

$P_A - P_D = \rho_eg(z_B-z_A) + \rho_mg(z_C-z_B)+\rho_hg(z_D-z_C)$

Les deux surfaces A et D se trouvent à la pression atmosphérique. Donc :

$P_A = P_D = P_{atm}$

Du coup ces deux pressions vont se simplifier aussi. Ce qui donne:

$\rho_eg(z_B-z_A) + \rho_mg(z_C-z_B)+\rho_hg(z_D-z_C) = 0$

Maintenant, on va introduire les hauteurs dans l’équation. Pour faire ceci, il faudra déjà exprimer ces hauteurs en fonction des z. On a donc à partir du schéma :

$h_e = z_A - z_B$

$h = z_C - z_B$

$h_h = z_D - z_C$

En remplaçant dans l’équation, on obtient :

$\rho_eg(-h_e) + \rho_mgh+\rho_hgh_h = 0$

On va donc essayer d’isoler le h. On commence par simplifier avec la constante g :

$-\rho_eh_e + \rho_mh+\rho_hh_h = 0$

Après, on fait passer les deux termes qui ne contiennent pas h de l’autre côté :

$\rho_mh = \rho_eh_e -\rho_hh_h$

Donc :

$h = \dfrac{\rho_eh_e -\rho_hh_h}{\rho_m }=\dfrac{1000 \times 4.10^{-2} -850 \times 2.10^{-2}}{13500 }$

$h = 1.7 \,10^{-3} \,m = 1.7 \,mm$

Réponse 2:

En appliquant de nouveau l’équation de l’hydrostatique entre le point A et B et en commençant cette fois-ci par le point B on obtient:

$P_B - P_A = \rho_eg(z_A-z_B)$

Faisant ensuite passer la pression P_A de l’autre côté:

$P_B = P_A + \rho_eg(z_A-z_B)$

Intégrant pour l’instant h_e dans l’équation:

$P_B = P_A + \rho_egh_e = 10^{5} + 1000\times9.81\times4 \,10^{-2} = 100392 \, Pa$

Pour la pression P_c il s’agira de suivre la même démarche. En premier lieu l’équation de l’hydrostatique donne:

$P_C - P_D = \rho_hg(z_D-z_C)$

Puis on fait passer P_D de l’autre côté de l’équation:

$P_C = P_D + \rho_hg(z_D-z_C)$

Et on introduit le h_h:

$P_C = P_D + \rho_hgh_h = 10^{5} + 850\times9.81\times2 \,10^{-2} = 100167 \, Pa$