Équation de l’hydrostatique | Exercice 2

Enoncé :

Soit le récipient cylindrique sur la figure ci-dessous. Ce récipient est attaché à un tube piézométrique incliné et contient deux fluides au repos. De l’eau et de l’huile, de masses volumiques respectives ρ_e et h_h. L’huile a une hauteur H. Et la distance verticale entre l’interface des deux fluides et l’entrée du tube piézométrique est a. Le tube est incliné d’un angle θ et l’eau est étalé dedans sur une longueur L.

Le récipient et le tube piézométrique sont ouverts sur l’air atmosphérique.

Question 1: En utilisant l’équation de l’hydrostatique donnez l’expression littérale de la dénivellation h entre les deux surface de l’eau. Calculez sa valeur numérique.

Question 2: Exprimez la longueur L, puis donnez sa valeur numérique.

Données :

ρ_h = 850 Kg/m³, ρ_e = 1000 Kg/m³, H = 10 cm, a = 5 cm, θ = 30° et P_atm = 10⁵ Pa.

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Solution :

Réponse 1:

La dénivellation h recherchée, est située entre les deux points B et C. On peut donc penser à appliquer l’équation de l’hydrostatique entre ces deux points seulement. Mais cela ne va pas être suffisant, car la pression au point B est inconnue. C’est pourquoi on va aussi l’appliquer entre A et B car la pression en A est connue (pression atmosphérique). Ce qui est logique car l’huile est à l’origine de cette dénivellation.

L’application du principe fondamental de l’hydrostatique (relation de l’hydrostatique) entre A et B nous donne:

Pour cette dernière équation il faut bien s’assurer que les indices pour les pressions sont dans le sens inverse de ceux des cotes z. En effet, pour les pression on a commencé par le point A mais pour les cotes z par le point B. La deuxième chose à laquelle il faudra être attentif est que la masse volumique utilisée dans la relation fondamentale de l’hydrostatique doit être celle du fluide qui relie les deux points.

En appliquant le principe fondamental de l’hydrostatique cette fois-ci entre le point B et C on obtient:

Dans cette dernière équation on a veillé à commencer par le point B pour les pressions car c’était le dernier dans l’équation d’avant. La raison derrière, est la simplification des calculs comme on verra tout de suite.

Maintenant, on additionne les deux équations membre à membre:

On voit bien que les pressions P_B se sont simplifiées.

Les deux surfaces libres aux points A et C sont en contact avec l’air atmosphérique. Donc à ces surfaces c’est la pression atmosphérique qui règne. D’où:

Notre équation se réduit alors à:

Pour simplifier les termes avec les cotes z, on doit exprimer les différentes hauteurs relatives à ces cotes. On a donc:

Et:

Lorsqu’on exprime les hauteurs en fonctions des cotes z, il faut toujours soustraire le z du point le plus bas à celui du point le plus haut sans faire attention à l’ordre des z dans l’équation.

En revenant maintenant à notre équation, on va substituer les z par:

Ce qui donne:

En simplifiant par g et en faisant passer le terme négatif de l’autre côté on obtient:

D’où l’expression de la dénivellation h:

Pour l’application numérique on obtient:

Réponse 2:

En se basant sur les caractéristiques géométriques sur la figure, on peut élaborer le triangle suivant et qui relie la longueur L au reste:

On a alors:

Donc:

Et pour la valeur numérique: