Équation de l’hydrostatique | Exercice 3

Enoncé :

Un manomètre à deux fluides est utilisé pour contrôler la différence de pression entre deux conduites transportant du pétrole brut comme montré sur la figure ci-dessous. Les deux conduites contiennent du pétrole de masse volumique ρ_p et à des pressions différentes P_A et P_B.

Le manomètre est constitué du mercure de masse volumique ρ_m et de l’air considéré comme non pesant (masse volumique négligeable).

Question 1: En utilisant la relation fondamentale de l’hydrostatique (l’équation de l’hydrostatique) exprimez la différence de pression ΔP = P_B – P_A en fonction des masses volumiques et des hauteurs indiquées sur la figure.

Question 2: La différence de pression ne doit pas dépasser 5 bars. Est ce que cette exigence est respectée ?

Données :

ρ_p = 900 kg/m³, ρ_m = 13500 kg/m³, h = 12 cm, h₁ = 15 cm, h₂ = 35 cm et g = 9.81 N/kg.

Solution :

Réponse 1:

On commence la résolution par l’application de la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les extrémités de chacun des fluides. Pour le pétrole, entre le point B et C on a:

$P_B - P_C = \rho_pg(z_C-z_B)$

Et on a:

$h_2 = z_C-z_B$

En intégrant h₂ dans l’équation de l’hydrostatique on obtient:

$P_B - P_C = \rho_pgh_2 \,\,\,\, (1)$

Pour l’air, puisqu’il est non pesant cela veut dire que la pression est la même à n’importe quel point. En particulier aux points C et D, ce qui nous permet d’écrire:

$P_C = P_D$

D’où:

$P_C - P_D = 0 \,\,\,\, (2)$

Remarquez aussi qu’on pouvait obtenir la même chose en appliquant l’équation de l’hydrostatique et en considérant que la masse volumique de l’air est nulle.

Pour le mercure entre les points D et E on obtient:

$P_D - P_E = \rho_mg(z_E-z_D)$

D’un autre côté on a :

$h = z_E-z_D$

Donc:

$P_D - P_E = \rho_mgh \,\,\,\, (3)$

Pour le dernier fluide, entre les points E et A, on a:

$P_E - P_A = \rho_pg(z_A-z_E)$

Et on a:

$h_1 = z_A-z_E$

D’où:

$P_E - P_A = \rho_pgh_1 \,\,\,\, (4)$

En conclusion, on a les quatre équation suivantes:

$P_B - P_C = \rho_pgh_2 \,\,\,\, (1)\\P_C - P_D = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)\\P_D - P_E = \rho_mgh \,\,\,\, (3)\\P_E - P_A = \rho_pgh_1 \,\,\,\, (4)$

Remarquez que le choix de l’ordre des pressions dans chaque équation est fait de telle sorte que la dernière pression dans une équation est la première dans celle qui suit.

Maintenant, il ne reste qu’à additionner les quatre équations membre à membre.

$P_B - P_C = \rho_pgh_2 \,\,\,\, (1)\\P_C - P_D = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)\\P_D - P_E = \rho_mgh \,\,\,\, (3)\\P_E - P_A = \rho_pgh_1 \,\,\,\, (4) \\---------------\\P_B - P_A = \rho_pgh_2 + \rho_mgh + \rho_pgh_1$

D’où l’expression de la différence de pression entre les deux conduites:

$\Delta P = \rho_pg(h_1+h_2) + \rho_mgh$

Réponse 2:

Pour cette question il faut juste faire l’application numérique et comparer la valeur obtenue pour la différence de pression avec le seuil de 5 bars.

Pour l’application numérique il faut convertir les hauteurs qui sont données en centimètre vers le mètre en les divisant par 100. Et le résultat sera en Pascal.

$\Delta P = 900 \times 9.81 \times(0.15+0.35) + 13500 \times 9.81 \times 0.12 = 20218 \,Pa$

Maintenant il faut convertir ce résultat en bars en multipliant par 10^-5.

$\Delta P = 20218 \times 10^{-5} \,bars = 0.2 \,bars$

On a donc:

$\Delta P = 0.2 \,bars \le 5 \,bars$

D’où l’exigence sur la différence de pression est respectée puisque sa valeur est inférieure à 5 bars.