Équation de l’hydrostatique | Exercice 4

Enoncé :

Si on prend un tube d’environ 80 cm de longueur et de diamètre quelconque, et on le rempli entièrement de mercure puis en bouche momentanément son extrémité ouverte et on la plonge dans une cuve contenant du mercure, en renversant le tube, et on relâche finalement l’ouverture pour mettre en contact les deux mercures, on remarquera que le mercure descendra un peu dans le tube puis se stabilisera à une hauteur donnée. Comme ça, on vient de créer un appareil qui permet de mesurer la pression atmosphérique locale. Il s’appelle un baromètre à mercure ou encore le baromètre de Torricelli.

L’espace créé en haut du tube est du pseudo vide où la pression est presque nulle.

Le baromètre indique une dénivellation h entre la surface du mercure en contact avec l’air atmosphérique (point A) et celle en contact avec le vide (point B).

Question 1: Donner l’expression de la pression atmosphérique en fonction de h. Puis calculer sa valeur.

Question 2: Si au lieu du mercure on a mis de l’eau, quel sera alors la hauteur h. Est ce que le tube précédemment utilisé est toujours convenable?

Données :

ρ_m = 13546 kg/m³, h = 762 mm, ρ_eau = 1000 kg/m³et g = 9.81 N/kg.

Solution :

Réponse 1:

Pour cette question, on va appliquer la loi fondamentale de l’hydrostatique (équation de l’hydrostatique) entre le point A et B. Ceci est possible car d’un côté le fluide est au repos et d’un autre les deux points font partie du même fluide.

En l’appliquant on obtient:

$P_A - P_B = \rho_mg(z_B-z_A)$

La pression au point A est la pression atmosphérique. Car ce point fait partie de la surface du mercure en contact avec l’air atmosphérique. Donc:

$P_A = P_{atm}$

Au point B la pression est nulle. Car il appartient à l’interface du mercure avec le vide. Donc :

$P_B = 0$

D’un autre côté, la dénivellation h est :

$h = z_B-z_A$

En replaçant dans la loi fondamentale de l’hydrostatique on obtient:

$P_{atm} - 0 = \rho_mgh$

Donc l’expression de la pression atmosphérique en fonction de la dénivellation h est:

$P_{atm} = \rho_mgh \,\,\,\,(1)$

Pour l’application numérique il faudra juste faire attention à l’unité de h qui est donné en millimètre et qu’il faudra convertir au mètre pour avoir la pression en Pascal.

$P_{atm} = 13546 \times 9.81 \times 0.762 = 101259 \, Pa$

Réponse 2:

Si on avait de l’eau comme fluide dans le baromètre au lieu du mercure, il suffira alors juste de remplacer la masse volumique du mercure par celle de l’eau dans l’équation (1), et puis utiliser la valeur de la pression atmosphérique obtenue dans la question précédente pour avoir la nouvelle valeur de h. Ceci donne:

$P_{atm} = \rho_{eau}gh$

On isole ensuite le h:

$h = \dfrac{P_{atm}}{\rho_{eau}g}$

L’application numérique donne :

$h = \dfrac{101259}{1000 \times 9.81} = 10.3 \,m$

Pour pouvoir alors mesurer la pression atmosphérique avec un baromètre à eau il nous faudra un tube qui dépasse un peu 10.3 m. D’où le tube du baromètre à mercure qui fait juste 80 cm ne sera pas suffisant.