Poussée d’Archimède | Exercice 1

Enoncé :

Un baril de pétrole flotte à la surface de l’océan. Le baril est en acier, son volume est V_b et pèse une masse m_b à vide. Le baril est complètement rempli de pétrole dont la masse volumique est ρ_p. On souhaite calculer le volume du baril immergé dans l’eau.

Question 1: Donnez l’expression littérale puis calculez la masse totale m d’un baril plein.

Question 2: En appliquant le principe fondamental de la statique et le théorème d’Archimède, trouver l’expression puis la valeur du volume immergé du baril V_imm.

Question 3: En déduire le pourcentage du volume immergé.

Données :

m_b = 18 kg, V_b = 208 l, ρ_p = 800 Kg/m³ et ρ_mer = 1020 Kg/m³.

Solution :

Réponse 1:

La masse totale du baril plein doit prendre en compte la masse du baril métallique vide et la masse du pétrole qu’il contient. Ceci donne la formule suivante:

$m = m_b + m_p$

La masse du baril vide m_b étant donnée, il faudra juste calculer la masse du pétrole. Puisque la masse volumique de ce dernier est donnée et son volume est celui du baril V_b, il faudra juste exprimer sa masse en fonction de la masse volumique et du volume. On a donc:

$\rho_p = \dfrac{m_p}{V_p}$

Donc la masse sera donnée par:

$m_p = \rho_p \times V_p = \rho_p \times V_b$

En rassemblant les deux équations, on obtient la masse totale du baril comme suit:

$m = m_b + m_p = m_b + \rho_p \times V_b$

Ensuite il suffira juste de faire l’application numérique, en faisant attention à mettre chaque grandeur avec son unité du système international. A savoir, les masses en kg, le volume en m³ et la masse volumique en kg/m³.

$m = 18 + 800 \times 208 \times 10^{-3} = 184.4 \, kg$

Réponse 2:

En isolant le baril, on trouve qu’il est soumis à deux forces seulement. La première est son propre poids P. C’est une force dirigée vers le bas ayant une intensité égale à mg. Où m est la masse totale du baril plein et g la constante de gravité.

$P = m \times g$

La deuxième force est celle de la poussée d’Archimède. Cette force par contre est dirigée vers le haut et son intensité est donnée par la formule suivante:

$F_A = \rho_{mer} \times V_{imm} \times g$

Où, V_imm représente le volume immergé du baril qui est le volume de ce dernier qui se trouve sous la surface de l’eau. g est la constante de gravité et ρ_mer est la masse volumique de l’eau de mer.

Le baril étant en équilibre, on peut donc appliquer le principe fondamental de la statique. Il stipule que la somme vectorielle de toutes les forces appliquées à un objet à l’équilibre est nulle. Ceci se traduit dans notre cas par:

$\vec{P} + \vec{F_A} = \vec{0}$

Maintenant il faudra projeter cette équation vectorielle. On va considérer positives les forces dirigées vers le haut, et négatives celles orientées vers le bas. Du coup, l’équation devient:

$-P + F_A = 0$

On peut aussi faire passer le P du côté droit de l’équation pour obtenir:

$F_A = P$

Ensuite, il faut remplacer chaque force par son expression. Ceci donnera:

$\rho_{mer} \times V_{imm} \times g = m \times g$

En simplifiant par g, et en isolant le V_imm, on obtient:

$V_{imm} = \dfrac{m}{\rho_{mer}}$

L’application numérique donne:

$V_{imm} = \dfrac{184.4}{1020} = 0.18 \, m^3 = 180 \, l$

Réponse 3:

Pour calculer le pourcentage que représente le volume immergé du volume total, il suffit juste de diviser le volume immergé V_imm par le volume total du baril V_b.

$\dfrac{V_{imm}}{V_b} \times 100 = \dfrac{180}{208} \times 100 = 86.5 \%$

Donc 86.5 % du baril sera immergée sous l’eau et 13.5 % sera visible en dessus de la surface de l’eau.