Poussée d’Archimède | Exercice 2

Enoncé :

Un ballon de football de masse m et de diamètre d flotte à la surface d’un petit bassin rempli d’eau de masse volumique ρ_eau. Dans un premier temps on souhaite vérifier que le ballon va belle et bien flotter au lieu de couler. Et par la suite on cherchera la force verticale nécessaire à lui appliquer par une main pour le rendre complètement immergé sous l’eau.

Question 1: Calculez le volume du ballon en supposant qu’il est sous forme d’une sphère de diamètre d.

Question 2: En utilisant le théorème d’Archimède en plus de l’équilibre (PFS) du ballon, trouvez l’expression du volume immergé V_imm et en déduire que le ballon va flotter.

Question 3: Calculez le pourcentage du volume du ballon qui sera immergé.

On souhaite pour l’instant forcer le ballon à la main pour qu’il soit entièrement en dessous de la surface de l’eau du bassin.

Question 4: Calculez la force nécessaire à appliquer par la main sur le ballon pour le maintenir immergé.

Données :

m = 430 g, d = 21.96 cm, ρ_eau = 1000 Kg/m³ et g = 9.81 N/kg

Solution :

Réponse 1:

Le ballon est assimilé à une sphère donc son volume est donné par la formule suivante:

$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

Pour notre cas, c’est le diamètre qui est donné. On peut donc soit calculer le rayon r en divisant le diamètre par 2 puis remplacer dans la formule ou remplacer directement r par d/2. Pour ce dernier choix on aura:

$V = \dfrac{4}{3} \pi {(\dfrac{d}{2})}^3 = \dfrac{4}{3} \pi \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi}{6} d^3$

Lors de l’application on peut juste garder le diamètre en cm et on aura le volume en cm³ comme suit:

$V = \dfrac{\pi}{6} \times 21.96^3 = 5544.9 \,cm^3$

Donc le volume du ballon est 5544.9 cm³.

Réponse 2:

Le ballon est soumis à deux forces verticales, qui sont le poids P appliqué par la pesanteur et la poussée d’Archimède F_A appliquée par le fluide.

Le poids P est dirigé vers le bas est possède une intensité égale à:

$P = m \times g$

La poussé d’Archimède F_A par contre est orientée vers le haut et son intensité est donnée par le théorème d’Archimède. Elle est égale à:

$F_A = \rho_{eau} \times V_{imm} \times g$

Où, V_imm représente le volume immergé du ballon qui est le volume de cette dernière qui se trouve sous la surface de l’eau. g est la constante de gravité et ρ_eau est la masse volumique de l’eau.

L’application du principe fondamental de la statique au ballon donne:

$\vec{P} + \vec{F_A} = \vec{0}$

En projetant cette équation sur l’axe vertical ascendant on trouve:

$-P + F_A = 0$

Par la suite, on fait passer P de l’autre côté de l’équation.

$F_A = P$

Et on remplace chaque intensité par son expression.

$\rho_{eau} \times V_{imm} \times g = m \times g$

En simplifiant par g, et en isolant le V_imm, on obtient:

$V_{imm} = \dfrac{m}{\rho_{eau}}$

On fait ensuite l’application numérique en faisant attention à utiliser chaque grandeur avec la bonne unité. Ici il faudra juste convertir la masse du ballon du gramme au kilogramme en divisant par 1000.

$V_{imm} = \dfrac{0.43}{1000} = 4.3 \times 10^{-4} \, m^3$

On convertit le résultat par la suite du m³ au cm³ en multipliant par 10⁶.

$V_{imm} = 4.3 \times 10^{-4} \, m^3 = 4.3 \times 10^{-4} \times 10^{6} \, cm^3 = 430 \, cm^3$

Réponse 3:

Le pourcentage du volume du ballon qui sera immergé dans l’eau est donné par:

$\dfrac{V_{imm}}{V} \times 100 = \dfrac{430}{5544.9} \times 100 = 7.75 \%$

Donc juste 7.75 % du ballon qui sera immergé sous l’eau. C’est pourquoi on observe que le ballon ne s’enfonce pas trop dans l’eau.

Réponse 4:

Pour cette question il faudra étudier l’équilibre du ballon lorsqu’il est entièrement immergé sous l’eau, sous l’action supplémentaire de la main qui doit le garder en dessous de la surface de l’eau. Comme bilan de forces, on aura donc trois forces appliquée au ballon. Le poids P, la poussée d’Archimède F_A et la force appliquée par la main F dont on cherche la valeur.

Les directions et sens des deux premières forces sont toujours les mêmes que précédemment. Pour la direction et sens de la force F, on peut procéder intuitivement en disant que l’action appliquée par la main est verticale dirigée vers le bas. Ou par calcul, en mettant F dans le sens positif puis en fonction de son signe, trouvé après projection et résolution, on dira si elle est orientée vers le haut ou vers le bas.

Le principe fondamental de la statique appliqué au ballon donne:

$\vec{F} + \vec{P} + \vec{F_A} = \vec{0}$

En faisant la projection de cette équation vectorielle, on obtient d’après les sens des différentes forces :

$-F - P + F_A = 0$

En faisant passer F de l’autre côté de l’équation on obtient:

$F = F_A - P$

Le poids P est toujours le même, mais la poussée d’Archimède F_A même si elle garde la même formule aussi, la valeur du volume immergé V_imm a changée. Effectivement, maintenant que le ballon est entièrement immergé sous l’eau le volume V_imm est égal au volume du ballon V. Donc:

$F_A = \rho_{eau} \times V_{imm} \times g = \rho_{eau} \times V \times g$

En remplaçant le poids et la poussée d’Archimède dans l’expression de la force F, on obtient:

$F = \rho_{eau} \times V \times g - m \times g = (\rho_{eau} \times V - m) \times g$

En faisant l’application numérique, on obtient:

$F = (1000 \times 5544.9 \times 10^{-6} -0.43) \times 9.81 = 50 \, N$

Pour l’application numérique, on est obligés de convertir le volume du cm³ au m³ en multipliant par un 10^-6.

Donc la force à appliquer sur le ballon pour l’immerger totalement est 50 N.