Poussée d’Archimède | Exercice 3

Enoncé :

Une plateforme hexagonale en bois de masse m_p repose sur six flotteurs sphériques creux identiques de rayon R. Les flotteurs sont en matière plastique et la masse de chacun d’eux est m_f. La plateforme flotte sur la surface de la mer dont l’eau a une masse volumique ρ_mer.

On souhaite dans un premier temps déterminer le rayon R des flotteurs sphériques de telle sorte qu’ils soient à moitié immergé lorsque la plateforme n’est pas chargée. On va dans nos calculs supposer que la masse m_f des flotteurs ne dépendra pas du rayon extérieur R. En effet, on peut ajuster la masse des flotteurs en jouant sur la valeur du rayon intérieur de la sphère creuse.

Dans un deuxième temps on va chercher la charge maximale que peut supporter la plateforme.

Ci dessous est la plateforme hexagonale non chargée montrant deux flotteurs jaunes à moitié immergés.

La figure suivante montre avec une vue d’en-dessous les six flotteurs de la plateforme.

Question 1: En vous aidant du théorème d’Archimède et du PFS, donnez l’expression littérale puis calculez la valeur du rayon R pour respecter l’exigence des flotteurs à moitié immergés lorsque la plateforme est non chargée.

On souhaite transporter des barils vides de masse m_b chacun sur la plateforme. Et on cherche à déterminer le nombre maximum de barils n qu’on peut déposer sur cette dernière sans pour autant immerger complètement les flotteurs.

Question 2: Déterminer l’expression de n puis donner sa valeur numérique.

Question 3: En utilisant le nombre maximum de barils obtenu dans la question précédente, trouver le pourcentage du volume des flotteurs immergé.

Données :

m_p = 40 kg, m_f = 3 kg, m_b = 18 kg, et ρ_mer = 1020 Kg/m³.

Solution :

Réponse 1:

En isolant la plateforme (y compris les six flotteurs), on trouve qu’elle est soumise à deux forces seulement. Son propre poids P et la poussée d’Archimède F_A.

Le poids P est donné par:

$P = m \times g$

Où m est la masse totale de la plateforme. Sachant que cette masse totale regroupe la masse de la plateforme m_p et celle des six flotteurs de masse m_f chacun, alors m s’exprimera comme suit:

$m = m_p + 6m_f$

Concernant la poussée d’Archimède F_A, son expression est donnée par le théorème d’Archimède. On a donc:

$F_A = \rho_{mer} \times V_{imm} \times g$

Le volume immergé correspond au volume des six demis sphères. Si on prend V_s comme étant le volume d’une sphère de rayon R alors:

$V_{imm} = 6 \times \dfrac{V_s}{2} = 3V_s$

D’un autre côté, le volume de la sphère est donné par:

$V_s = \dfrac{4}{3} \pi R^3$

Si on combine maintenant les deux dernières relations, on obtient:

$V_{imm} = 3V_s = 3 \times \dfrac{4}{3} \pi R^3 = 4\pi R^3$

En remplaçant le volume immergé dans l’expression de la poussée d’Archimède, on obtient:

$F_A = \rho_{mer} V_{imm} g = 4\pi\rho_{mer}gR^3$

On appliquant le PFS, et en tenant compte des sens des deux forces, on obtient:

$F_A - P = 0$

En remplaçant chaque intensité par son expression, on aura:

$4\pi\rho_{mer}gR^3 - (m_p + 6m_f)g = 0$

Ce qui donne:

$4\pi\rho_{mer}R^3 = (m_p + 6m_f)$

Donc:

$R^3 = \dfrac{m_p + 6m_f}{4\pi\rho_{mer}}$

D’où:

$R = \sqrt[3]{\dfrac{m_p + 6m_f}{4\pi\rho_{mer}} }$

L’application numérique donne:

$R = \sqrt[3]{\dfrac{40 + 6 \times 3}{4\pi\times1020} } = 0.165 \, m = 16.5 \, cm$

Donc le rayon des flotteurs qui respecte la contrainte imposée est 16.5 cm.

Réponse 2:

On va se poser dans le cas limite où les flotteurs sont complètement immergés sous l’effet de n barils comme représenté sur la figure suivante:

On va isoler l’ensemble constitué de la plateforme, les six flotteurs et les n barils. Cette ensemble est soumis à deux forces, qui sont sont poids P et la poussée d’Archimède F_A.

Les poids P est donné par:

$P = mg$

Où m est la masse de l’ensemble. Elle vaut:

$m = m_p + 6m_f + n.m_b$

D’où l’expression de du poids P:

$P = (m_p + 6m_f + n.m_b)g$

Pour la poussée d’Archimède on retrouve sont expression en utilisant le théorème d’Archimède:

$F_A = \rho_{mer} V_{imm} g$

Le volume immergé dans cette situation correspond au volume des six sphères. Donc:

$V_{imm} = 6V_s = 6\times \dfrac{4}{3} \pi R^3 = 8 \pi R^3$

Donc la poussée d’Archimède devient:

$F_A = 8 \pi\rho_{mer} g R^3$

En appliquant le principe fondamental de la statique à l’ensemble isolé, on obtient:

$F_A - P = 0$

En remplaçant ensuite chaque force par son expression, cette équation devient:

$8 \pi\rho_{mer} g R^3 - (m_p + 6m_f + n.m_b)g = 0$

En simplifiant par g et en isolant le n on obtient l’expression littérale de ce dernier:

$n = \dfrac{8 \pi\rho_{mer} R^3 - m_p - 6m_f}{m_b}$

L’application numérique donne :

$n = \dfrac{8 \pi\times 1020 \times {0.165}^3 - 40 - 6 \times 3}{18} = 3.18 \, barils$

Donc le nombre de barils maximum que peut transporter la plateforme sans que les flotteurs ne s’immergent entièrement est 3 barils. Cette valeur est obtenue en arrondissant à l’entier inférieur à la valeur décimale obtenue.

Réponse 3:

On va commencer par le calcul du volume immergé V_imm. Pour cela on revient à l’équation du PFS suivante:

$F_A - P = 0$

Et en replaçant les intensités par leurs expressions:

$\rho_{mer} V_{imm} g - (m_p + 6m_f + n.m_b)g = 0$

On obtient l’expression de V_imm, comme suit:

$V_{imm} = \dfrac{(m_p + 6m_f + n.m_b)}{\rho_{mer}}$

L’application numérique donne:

$V_{imm} = \dfrac{40 + 6\times 3 + 3 \times 18}{1020} = 0.1098 \, m^3$

Le volume des flotteurs V comme calculé en haut est :

$V = 8 \pi R^3 = 8\pi\times0.165^3 = 0.1129 \, m^3$

Donc les pourcentage du volume des flotteurs immergé lors de la charge maximale de trois barils est:

$\dfrac{V_{imm}}{V} \times 100 = \dfrac{0.1098}{0.1129} \times 100 = 97.25 \%$