Cristallographie | Exercice 1

Enoncé :

Le Polonium est un métal pauvre de structure cristalline cubique simple.

Question 1: Pour la structure cristalline cubique simple déterminer le nombre d’atomes par maille (multiplicité).

Question 2: Etablir la relation entre la paramètre de maille a et le rayon de l’atome r (relation de tangence).

Question 3: Donner en fonction du paramètre de maille a, la distance entre les centres de deux atomes de côté et d’autre d’une diagonale d’une face.

Question 4: Donner en fonction du paramètre de maille a, la distance entre les centres de deux atomes de côté et d’autre d’une diagonale du cube.

Question 5: A partir des deux questions précédentes déduire la position relative des atomes les plus proches à un atome donné.

Question 6: Donner la coordinence de la structure cubique simple.

Question 7: Calculer la compacité de la maille cubique simple.

Question 8: Calculer la masse volumique du Polonium en kg/m³.

Données :

M_Po = 208.9 g/mol, r = 167.9 pm, N_A = 6.022 x10²³ mol^-1.

Solution :

Réponse 1:

Dans une maille cubique simple, chacun des huit atomes sur les sommets du cube est partagé entre 8 mailles. Donc seulement le huitième de chaque atome est effectivement à l’intérieur de la maille comme le montre la figure ci-dessous:

La maille contient donc huit huitièmes d’atomes. Donc elle contient l’équivalent d’un seul atome.

$N = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1$

Réponse 2:

Dans une maille cubique simple les atomes sont centrés sur les huit sommets du cube. Et chaque deux atomes sur la même arête se touchent au niveau de leurs rayons. De ce fait, la longueur de l’arête est deux fois le rayon de l’atome comme illustré sur l’image ci-dessous.

D’où la relation de tangence suivante, et qui donne la longueur de l’arête du cube, appelée aussi paramètre de maille, en fonction du rayon:

$a=2r$

Réponse 3:

Si on prend trois sommets sur une même face du cube, ils vont constituer un triangle rectangle. Ce triangle a comme hypoténuse la distance b entre les centres de deux atomes opposés sur la diagonale de cette face. Les deux autres côtés ont tout les deux la même longueur a.

En appliquant le théorème de Pythagore sur ce triangle on obtient:

$b^2=a^2+a^2=2a^2$

D’où:

$b = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}\,\sqrt{a^2}= \sqrt{2}\,a$

Donc la distance entre les centres de deux atomes opposé sur une diagonale d’une face du cube est:

$b = \sqrt{2}\,a$

Réponse 4:

En exploitant le triangle rectangle montré sur la figure ci-dessus, on pourra calculer la distance c entre les deux centres de deux atomes opposés sur la même diagonale du cube.

En utilisant le théorème de Pythagore on trouve:

$c^2=b^2+a^2$

Et puisque:

$b = \sqrt{2}\,a$

Alors:

$c^2=(\sqrt{2}\,a)^2+a^2 =2a^2 +a^2=3a^2$

D’où la distance entre les deux centres en question:

$c = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}\,\sqrt{a^2}= \sqrt{3}\,a$

Réponse 5:

Lorsqu’on considère un atome quelconque de la maille, n’importe quel autre atome de la maille est soit:

sur la même arête que lui, donc séparés par une distance a;
sur la même diagonale d’une face que lui, donc séparés par une distance b;
sur la même diagonale du cube que lui, donc séparés par une distance c;

En comparant ces trois distance, on conclut que l’atome le plus proche se trouve sur la même arête que l’atome considéré.

Réponse 6:

La coordinence d’un atome est le nombre des ses plus proches voisins. Sachant que pour un métal la coordinence est la même pour n’importe quel atome, le choix de l’atome sur lequel on va effectuer le raisonnement sera alors arbitraire.

Soit un atome quelconque (l’atome noire de la figure ci-dessous), cet atome appartient à huit mailles différentes comme montré ci-dessous:

D’après la question précédente, les atomes les plus proches de celui-ci seront ceux qui se trouvent sur la même arête que lui. On peut en compter six atomes (les atomes en vert) dans les huit mailles qui l’entourent. Donc la coordinence dans une maille cubique simple est 6.

Réponse 7:

La compacité C est le rapport entre le volume des atomes à l’intérieur de la maille V_a et le volume de la maille elle-même V_m.

$C = \dfrac{V_{a}}{ V_{m}}$

D’après la première question, le nombre d’atome dans la maille est 1. Et sachant qu’un atome est modélisé par une sphère de rayon r, alors:

$V_{a} = 1 \times V_{sphere} = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

La maille étant un cube de côté a, alors son volume est:

$V_{m} = a^3 = (2r)^3 = 8r^3$

D’où la compacité de la maille cubique simple:

$C = \dfrac{ \dfrac{4\pi r^3}{3} }{8r^3} = \dfrac{ 4\pi r^3}{3\times8r^3} = \dfrac{ \pi }{6} = 0,52$

Réponse 8:

La masse volumique est donnée par:

$\rho = \dfrac{N\,M_{Po}}{ N_{A}\,V_{m}}$

Où:

N : Nombre d’atomes par maille (N = 1);
M_Po : Masse molaire du Polonium (M_Po = 208.9 g/mol = 0.2089 kg/mol);
N_A : Nombre d’Avogadro;
V_m : Volume de la maille (V_m = 8r³ = 8x(167.9×10^-12)³ = 3.787×10^-29 m³).

$\rho = \dfrac{1 \times 0.2089}{ 6.022 \times 10^{23} \times 3.787 \times 10^{-29}} = 9160 \,kg/m^3$

D’où la masse volumique du Polonium est : ρ = 9160 kg/m³.