Cristallographie | Exercice 2

Enoncé

Le molybdène est un métal de structure cristalline cubique centrée.

Question 1: Déterminez la multiplicité de la structure cristalline cubique centrée (le nombre d’atomes par maille).

Question 2: Exprimez le paramètre de maille a en fonction du rayon atomique r.

Question 3: Donner la coordinence de la structure cubique centrée.

Question 4: Calculer la compacité de la structure cubique centrée.

Question 5: Calculer la masse volumique théorique du molybdène en kg/m³.

Données :

M_Mo = 95.94 g/mol, r = 136.3 pm, N_A = 6.022 x10²³ mol^-1.

Solution :

Réponse 1:

La structure cubique centrée est constituée d’un côté, de huit atomes, situés sur les sommets du cube. Mais avec seulement le huitième de chaque atome se trouvant à l’intérieur de la maille cubique. En effet, chacun de ces atomes est partagé entre huit mailles différentes. Par conséquent, parmi les huit atomes des sommets, seulement l’équivalent d’un atome entier est effectivement à l’intérieur de la maille (huit huitième).

D’un autre côté la maille contient aussi un atome central, entièrement dedans. D’où la multiplicité de la structure cristalline cubique centrée est deux.

Réponse 2:

Pour trouver la relation entre le paramètre de maille a et le rayon atomique r, il faudra raisonner sur des atomes tangents. On retrouve ce type d’atomes sur la diagonale du cube. La longueur c de cette diagonale en fonction du rayon de l’atome r est:

$c=4r$

En utilisant le théorème de Pythagore pour le triangle rectangle de côtés a, b et c on obtient:

$c^2=a^2+b^2$

Pour pouvoir exprimer b, il faut exploiter le triangle rectangle sur la face supérieure. En appliquant une deuxième fois le théorème de Pythagore on arrive à:

$b^2=a^2+a^2 = 2a^2$

En combinant les deux dernières équations on obtient:

$c^2=a^2+b^2 = a^2+2a^2 = 3a^2$

L’objectif est d’avoir l’expression de a. On divise donc les deux membres de l’équation par 3. Ceci donnera:

$a^2= \dfrac{c^2}{3}$

On applique ensuite la racine:

$a= \sqrt{\dfrac{c^2}{3}} = \dfrac{c}{\sqrt{3}}$

En remplaçant c par son expression en fonction de r on obtient la relation entre la paramètre de maille et le rayon pour la structure cubique centrée:

$a= \dfrac{4r}{\sqrt{3}}$

Réponse 3:

Pour un métal les atomes sont identiques, pour la structure cubique centrée par exemple, lorsque on observe un cristal, on ne peut pas dire qu’un tel atome est un atome de sommet et qu’un autre est central. Tout dépend de l’origine sur lequel on a posé la première maille. Pour ne pas trop compliquer la chose, la morale de l’histoire est qu’on peut choisir l’atome qui nous permettra de calculer la coordinence de la façon la plus simple. Ici, ça doit être l’atome central.

L’atome central est entouré par huit atomes (ceux des sommets du cube) espacés d’une façon équidistante par rapport à ce dernier. Donc la coordinence de la structure cubique centrée est huit.

Réponse 4:

La compacité C d’une structure est le volume V_a occupé par les atomes à l’intérieur de la maille, divisé par le volume de la maille V_m. Il représente le taux de remplissage de la maille.

$C = \dfrac{V_{a}}{ V_{m}}$

Le volume V_a est le produit de la multiplicité par le volume d’un seul atome. Il est donc égal à:

$V_{a} = 2 \times V_{sphere} = 2 \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{8}{3} \pi r^3$

Quant au volume de la maille V_m, il est égal au volume d’un cube de côté a.

$V_{m} = a^3$

D’après la deuxième question, on a:

$a= \dfrac{4r}{\sqrt{3}}$

Donc:

$V_{m} = a^3 = (\dfrac{4r}{\sqrt{3}})^3 = \dfrac{4^3r^3}{\sqrt{3}^3} = \dfrac{64r^3}{3\sqrt{3}}$

D’où la valeur de la compacité de la structure cubique centrée:

$C = \dfrac{V_{a}}{ V_{m}} = \dfrac{\,\,\,\,\dfrac{8}{3} \pi r^3\,\,\,\,}{ \dfrac{64r^3}{3\sqrt{3}}} = \dfrac{\,\,\,\,\dfrac{8}{3} \pi \,\,\,\,}{ \,\,\,\,\dfrac{8\times8}{3\sqrt{3}}\,\,\,\,} = \dfrac{\,\,\,\,\pi \,\,\,\,}{\,\,\,\, \dfrac{8}{\sqrt{3}}\,\,\,\,} = \dfrac{\sqrt{3}\pi}{8} = 0.68$

Réponse 5:

La formule de la masse volumique théorique du molybdène est:

$\rho = \dfrac{N\,M_{Mo}}{ N_{A}\,V_{m}}$

Où:

N : La multiplicité de la maille (N = 2);
M_Mo : Masse molaire du Molybdène (M_Mo = 95.94 g/mol = 0.09594 kg/mol);
N_A : Nombre d’Avogadro (N_A = 6.022 x10²³ mol^-1);
V_m : Volume de la maille.

Pour la valeur de V_m on a:

$V_{m} = \dfrac{64r^3}{3\sqrt{3}} = \dfrac{64 \times (136.3 \times 10^{-12})^3}{3\sqrt{3}} = 3.1188 \times 10^{-29} \, m^3$

Maintenant qu’on a toutes les valeurs numériques des grandeurs qui apparaissent dans la formule de la masse volumique, il suffira alors juste de les substituer dans cette dernière. Ceci donne:

$\rho = \dfrac{2 \times 0.09594}{ 6.022 \times 10^{23} \times 3.1188 \times 10^{-29}} = 10216 \,kg/m^3$