Traction Compression | Exercice 1

Enoncé :

Vous souhaitez fouiller dans votre coffre pleine de livres à la recherche d’un ouvrage sur la résistance des matériaux. Pour faciliter votre tâche, vous l’avez posé sur une table ronde à pied central. Une fois le livre trouvé, vous vous êtes rendu compte que le pied de la table est une barre en compression!

On suppose que ce coffre a une masse m. Et que le pied est un profilé tubulaire de diamètre intérieur d et de diamètre extérieur D et d’une longueur L₀. Ce pied est fait de l’alliage d’aluminium 3005 de module de Young E et limite élastique Re.

Question 1: Précisez la valeur de l’effort normal N dans la barre.

Question 2: Calculez l’aire de la section S de la barre.

Question 3: Donnez la valeur de la contrainte normale σ dans la barre.

Question 4: En adoptant un coefficient de sécurité s, calculez la résistance pratique en compression R_pc , puis vérifiez le critère de résistance de la barre.

Question 5: En utilisant la loi de Hooke, déterminez le rétrécissement ΔL de la barre.

Données :

m = 30 kg, d = 48 mm, D = 50 mm, L₀ = 720 mm, Re = 150 MPa, E = 69 000 MPa, s = 2 et g = 9.81 N/kg.

Solution :

Réponse 1:

La barre est soumise à un effort de compression provenant du poids P du coffre. Calculons tout d’abord ce poids:

$P = mg = 30 \times 9.81 = 294 \,N$

Puisqu’il s’agit d’une barre sollicitée en compression, l’effort normal sera négatif. D’où:

$N = -294 \,N$

Réponse 2:

La barre a une section circulaire creuse de diamètre intérieur d et de diamètre extérieur D. Donc l’aire de sa section est donné par la formule:

$S = \dfrac{\pi(D^2-d^2)}{4}$

Pour l’application numérique, on va utiliser les diamètres en mm comme il est d’usage en RDM. Ce qui donne:

$S = \dfrac{\pi(50^2-48^2)}{4} = 154 \,mm^2$

Réponse 3:

La contrainte normale en traction compression est le rapport entre l’effort normal et la section de la barre.

$\sigma = \dfrac{N}{S}$

Pour avoir la contrainte normale en MPa, l’effort normal doit être exprimé en N et la section en mm².

$\sigma = \dfrac{-294}{154} = -1.9 \,MPa$

Réponse 4:

La résistance pratique en compression (contrainte admissible) est la contrainte maximale à ne pas dépasser dans la barre. Elle prend en compte la limite élastique du matériau Re, en plus d’un coefficient de sécurité s. Elle est donnée par:

$R_{pc} = \dfrac{Re}{s} = \dfrac{150}{2} = 75 \,MPa$

En compression le critère de résistance s’écrit:

$|\sigma| \le R_{pc}$

Le critère est bien vérifié car:

$|\sigma| = 1.9 \,MPa \le R_{pc} = 75 \,MPa$

Le pied de la table va belle et bien résister à la force générée par le coffre.

Réponse 5:

La loi de Hooke nous permet de relier la contrainte à la déformation en cas de la traction ou de la compression via la relation suivante:

$\sigma = E \varepsilon$

Où E est le module de Young.

La déformation quant à elle s’exprime en fonction de l’allongement ΔL comme suit:

$\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0}$

En combinant ces deux relations, on obtient l’équation reliant la contrainte normale à l’allongement :

$\sigma = E\dfrac{\Delta L}{L_0}$

D’où l’expression et valeur de l’allongement/rétrécissement:

$\Delta L = \dfrac{\sigma L_0}{E} = \dfrac{-1.9 \times 720}{69000} = -0.02 \,mm$

Il s’agit bien ici d’un rétrécissement car la valeur de ΔL est négative. En plus on remarque que la valeur de de ce rétrécissement est trop faible, donc il ne sera même pas perceptible.