Traction | Exercice 2

Enoncé :

Une chaîne d’ancre est soumise à une force de traction F lors du freinage d’un navire. On s’intéresse à l’étude d’un maillon de cette chaîne. Ce maillon est fait d’un acier de limite d’élasticité Re et de module de Young E. Un coefficient de sécurité s est adopté pour cette application.

L’étude se concentre sur les deux tiges cylindriques qui forment le maillon. On peut facilement montrer que chacune des deux tiges supporte la moitié de la force F subie par la chaîne.

L’étude se réduit alors à une seule tige modélisée comme suit:

Question 1: Calculez la contrainte normale σ dans la tige.

Question 2: Calculez la résistance pratique élastique R_pe, puis vérifiez le critère de résistance de la tige.

Question 3: En utilisant la loi de Hooke déterminez l’allongement ΔL de la tige.

Question 4: Sachant que la chaîne est constitué de n maillons, déterminer l’allongement de la chaîne dû à la déformation des tiges.

Données :

F = 2000 kN, Re = 580 MPa, E = 190 000 MPa, s = 2, d = 70 mm, l = 420 mm, n = 500.

Solution :

Réponse 1:

La tige est soumise à un effort normal N égal à:

$N = \dfrac{F}{2}= \dfrac{2000}{2} = 1000 \,kN$

La contrainte normale est donnée par :

$\sigma = \dfrac{N}{S}$

Où S est la section de la tige. Et sachant que cette section est circulaire, elle aura alors comme expression:

$S = \dfrac{\pi d^2}{4}$

En combinant les deux dernières équations on aura:

$\sigma = \dfrac{N}{S} = \dfrac{N}{\dfrac{\pi d^2}{4}} = \dfrac{4N}{\pi d^2}= \dfrac{4\times 1000 000}{\pi \times 70^2} = 260 \,MPa$

Pour cette dernière application numérique, il faudra veiller à mettre l’effort normal en Newtons, le diamètre en mm afin d’obtenir la contrainte en MPa.

Réponse 2:

La résistance pratique élastique Rpe, aussi appelée contrainte admissible, est obtenue en divisant la résistance élastique Re par le coefficient de sécurité s.

$Rpe = \dfrac{Re}{s} = \dfrac{580}{2} = 290 \, MPa$

Pour que la chaîne soit adaptée à cette application, il faudra que la tige respecte le critère de résistance qui stipule que la contrainte maximale σ dans la poutre soit inférieure à la résistance pratique élastique Rpe. Ici le critère est bien vérifié car:

$\sigma = 260 \,MPa \le Rpe = 290\,MPa$

Réponse 3:

La loi de Hooke permet de lier la contrainte σ à la déformation ε, à travers le module de Young E, dans le cas de la traction. Elle est donnée par:

$\sigma = E \varepsilon$

D’un autre côté la déformation est égale à l’allongement de la tige divisé par sa longueur initiale:

$\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}$

En combinant ces deux relations, on obtient la relation entre l’allongement et la contrainte:

$\sigma = E \dfrac{\Delta L}{L}$

D’où l’expression et la valeur numérique de l’allongement:

$\Delta L = \dfrac{\sigma L}{E} = \dfrac{260 \times 420}{190000} = 0.57\,mm$

Réponse 4:

Si on ne considère que l’allongement de la tige, chaque maillon de la chaîne va s’allonger de ΔL. Et puisque la chaîne contient n maillons, alors son allongement total est n fois l’allongement d’un maillon. D’où:

$\Delta L_{total} = n \Delta L = 500 \times 0.57 = 285 \,mm = 28.5 \,cm$

Donc la chaîne va s’allonger de 28.5 cm.