Équation d’état | Exercice 2

Enoncé :

Une quantité de matière n d’un gaz parfait est enfermée dans un système cylindre piston. Le piston de section S est capable de coulisser sans frottement le long du cylindre. La tige reliée au piston supporte de l’autre coté des poids. L’ensemble constitué par le piston, la tige et les poids a une masse totale m. A l’état initial, le gaz a une température T₀. Le gaz va subir ensuite un chauffage jusqu’à arriver à une température T₁.

A l’extérieur du système règne de l’air à la pression atmosphérique P_atm.

Question 1: En appliquant le principe fondamental de la statique (PFS) sur l’ensemble piston, tige et poids trouver la pression initiale P₀. Que peut-on dire sur la pression à l’état final P₁?

Question 2: Comment peut on qualifier la transformation subit par le gaz.

Question 3: En appliquant l’équation des gaz parfaits, trouver l’expression puis la valeur du volume initial V₀. En déduire la hauteur du domaine occupé par le gaz H₀.

Question 4: Donner l’expression puis la valeur numérique du volume final V₁. En déduire la course ΔH du piston lors de cette transformation.

Données :

n = 0.5 mol, T₀ = 20°C, T₁ = 100°C, S = 0.07 m², m = 10 kg, P_atm = 10⁵ Pa, R = 8.314 SI et g = 9.81 N/kg.

Solution :

Réponse 1:

Lorsque l’on isole l’ensemble piston, tige et poids on trouve qu’il est soumis à trois forces verticales:

Son poids P;
La force de pression du gaz F;
La force de pression de l’air atmosphérique A.

Avant de passer au PFS on va caractériser les différentes forces. Pour le poids, c’est une force verticale descendante d’intensité:

$P = mg$

Pour la force appliquée par le gaz sur le piston, c’est une force verticale ascendante. Car les forces de pression son toujours perpendiculaires sur la paroi qui subit la force et orientées du fluide vers la paroi. Quant à son intensité ça sera la pression du gaz P₀ multipliée par l’aire du piston S:

$F = P_0S$

On peut refaire le même raisonnement ci-dessus pour la force de pression de l’air atmosphérique sur l’ensemble, et on trouvera qu’il s’agit d’une force verticale descendante (car cette fois-ci l’air est en dessus du piston, donc il poussera vers le bas). Pour l’intensité on aura:

$A = P_{atm}S$

Remarque: l’utilisation de S dans cette formule sans prise en considération du diamètre de la tige qui réduit la section du piston en contact avec l’air n’est pas une approximation mais c’est le bon choix. L’explication dépasse un peu l’objectif de ce chapitre mais on peut juste remarquer qu’il y a de l’air aussi tout en haut de la tige.

En appliquant le PFS en projection sur l’axe vertical, on obtient:

$F - A - P = 0$

On remplace ensuite chaque intensité de force par son expression pour avoir:

$P_0S - P_{atm}S - mg = 0$

L’objectif ici est d’isoler P₀, donc on fait passer les deux termes négatifs de l’autre côté de l’équation. Ce qui donne:

$P_0S = P_{atm}S + mg$

On divise ensuite par S pour isoler la pression:

$P_0 = \dfrac{P_{atm}S}{S} + \dfrac{mg}{S} = P_{atm}+ \dfrac{mg}{S}$

Pour la valeur numérique on obtient:

$P_0 = 10^5+ \dfrac{10 \times 9.81}{0.07} = 101401 \,Pa$

Par rapport à l’état final, la pression P₁ sera la même que la pression initial P₀ car d’après le PFS effectué, la pression du gaz ne dépends que de P_atm, m et S qui restent inchangés lors de cette transformation.

On peut aussi confirmer cela en regardant le schéma de l’état final qui est similaire à celui de l’état initial à l’exception du volume du gaz qui est plus grand.

Réponse 2:

La pression du gaz est imposée par la masse m donc cette pression reste constante durant la transformation. D’où la transformation est un chauffage isobare.

Réponse 3:

En appliquant l’équation des gaz parfaits pour l’état initial on obtient:

$P_0 V_0 = nRT_0$

Ce qui donne:

$V_0 = \dfrac{nRT_0}{P_0}$

L’application numérique nous donne:

$V_0 = \dfrac{0.5 \times 8.314 \times (20+273)}{101401} = 0.012 \, m^3$

Pour calculer la hauteur du gaz il faut passer par l’expression géométrique du volume qui l’aire de la base multipliée par la hauteur. On obtient alors:

$V_0 = SH_0$