Équation d’état | Exercice 5

Enoncé :

Un système cylindre piston contient une masse m d’air, considéré comme un gaz parfait, à la pression et températures initiales connues, respectivement, P₁ et T₁. On souhaite dans un premier lieu déterminer le volume V₁ de cette masse d’air.

On suppose que l’air est composé de 79% d’azote et de 21% d’oxygène.

Question 1: Exprimez la masse molaire de l’air M_air en fonction des masses molaires de l’azote M_N et de l’oxygène M_O. Donnez ensuite sa valeur numérique.

Question 2: En utilisant l’équation des gaz parfaits donnez l’expression puis la valeur numérique de V₁.

On fait subir à cette masse d’air une détente isotherme jusqu’à arriver à la pression P₂.

Question 3: Calculez le nouveau volume V₂ de l’air.

A partir du premier état, on souhaite maintenant arriver à une pression P_2′ = P₂ d’une façon isotherme en évacuant de l’air et cela sans changer la position initiale du piston.

Question 4: Calculez la masse d’air à évacuer.

Données :

M_N = 14 g/mol, M_O = 16 g/mol, P₁ = 2 bars, T₁ = 20°C, m = 1 kg, P_2′ = P₂ = 1 bars.

Solution :

Réponse 1:

L’air est constitué par 21% de dioxygène O₂ et 79% de diazote N₂. En respectant ces proportions on peut écrire:

$M_{air} = 0.21 \times M(O_2) + 0.79 \times M(N_2)$

Le dioxygène O₂ est constitué de deux atomes d’oxygène. Donc sa masse molaire est égales à deux fois la masse molaire de l’oxygène. Et de même pour le diazote. D’où:

$M_{air} = 0.21 \times 2 \times M_O + 0.79 \times 2 \times M_N$

Application numérique:

$M_{air} = 0.21 \times 2 \times 16 + 0.79 \times 2 \times 14 = 28.84 \,g/mol$

Réponse 2:

L’équation des gaz parfaits est énoncée comme suit:

$P\,V = n\,R\,T$

En faisant passer la pression à l’autre côté de l’équation, et en l’appliquant à l’état initial de l’air, on obtiendra l’expression du volume:

$V_1 = \dfrac{n\,R\,T_1}{P_1}$

La quantité de matière n est définie comme étant le rapport de la masse sur la masse molaire. Donc:

$n = \dfrac{m}{M_{air}}$

En introduisant la quantité de matière dans l’expression du volume, on obtient:

$V_1 = \dfrac{m\,R\,T_1}{M_{air} \, P_1}$

Application numérique:

$V_1 = \dfrac{1 \times 8,314 \times (20+273)}{28,84 .10^{-3} \times 2.10^5} = 0.422 \,m^3$

En faisant l’application numérique il faudra faire attention à bien exprimer les différentes valeurs des variables d’état par leurs unités correspondantes. En particulier il faudra veiller à exprimer La température en Kélvin en ajoutant 273 à la température en Celsius. Et puis pour la pression, qui est donnée ici en bars, il faudra la convertir en Pa en la multipliant par 10⁵. Et finalement, la masse molaire doit être exprimé en kg/mol.

Réponse 3:

Pour l’état 2 de l’air, la pression P₂ est connue et puisque le système est fermé la quantité de matière n est conservée. En plus, puisque il s’agit d’une transformation isotherme le température à l’état 2 et la même que celle à l’état 1.

En écrivant l’équation d’état des gaz parfaits à l’état 2, on va s’apercevoir que la seule inconnue dans l’équation est le volume V₂recherché.

$P_2\,V_2 = n\,R\,T_2$

Donc:

$V_2 = \dfrac{n\, R \, T_2}{P_2}$

Calculons tout d’abord la quantité de matière puis faisons l’application numérique pour le volume:

$n = \dfrac{m}{M_{air}} = \dfrac{1}{28,84\,.10^{-3}} = 34,67 \,mol$

$V_2 = \dfrac{34.67 \times 8,314 \times (20 + 273)}{1\,.10^5} = 0,845 \,m^3$

Réponse 4:

Pour cette question on va se baser une autre fois sur l’équation d’état des gaz parfaits. Dans un premier temps, il nous faudra déterminer les variables d’état connus à l’état 2′. Premièrement, et puisque la transformation est isotherme, La température T_2′ aura la même valeur que la température à l’état initial. Donc:

$T_{2'} = T_1$

Deuxièmement, puisque le piston n’a pas changer d’emplacement, le volume final de l’air à l’intérieur du cylindre ne va pas changer. On en déduit alors que:

$V_{2'} = V_1$

Il reste maintenant juste deux variables d’état à investiguer. Ils sont la pression et la quantité de matière. La valeur de la pression souhaitée est imposée, du coups seule la quantité de matière est à calculer.

En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits, on trouve:

$n_{2'} = \dfrac{P_{2'} \, V_{2'}}{R \, T_{2'}}$

On faisant l’application numérique, on obtiendra la quantité de matière qu’on doit garder au sein du système cylindre piston pour assurer une pression P_2′.

$n_{2'} = \dfrac{ 1\,.10^5 \times 0,422}{8,314 \times (20+273)} = 17,32 \, mol$

La masse d’air emprisonnée dans le cylindre peut être déduite de cette quantité de matière comme suit:

$m_{2'} = M_{air} \times n_{2'} = 28,84 \, .10^{-3} \times 17,32 = \, 0,5 \,kg$

Finalement, on peut calculer la masse d’air à évacuer du système cylindre piston pour arriver à la pression indiquée. Il suffira juste de soustraire à la masse initiale, la masse qui reste dans le système. Ceci donne:

$m_{evac} = m - m_{2'} = 1 - 0,5 = \, 0,5 \,kg$